Переформулирование задачи

Сергей Леонидович Рубинштейн характеризовал решение задач человеком как процесс их переформулирования.

Рассмотрим пример переформулирования задач в процессе анализа и решения.

Задача 1

Некоторая коллекция значков была размещена в коробках, каждая из которых имела 10 отделении. В некоторые отделения коробок были положены значки, по одному в отделение, другие отделения были еще пустые. Любые две коробки этой коллекции отличались друг от друга хотя бы наличием или отсутствием значков в одном и том же отделении. Очевидно, что наибольшее число значков в коробке равно 10, а наименьшее — нуль (коробка пустая). Сколько коробок в этой коллекции?

Эта задача, конечно, носит несколько необычный характер. Но вот подобная ей задача, имеющая уже более реальный характер, полученная из задачи 1 с помощью такого переформулирования: каждому отделению коробки поставим в соответствие электрическую лампочку, тогда наличию или отсутствию в нем значка соответствует одно из возможных состояний лампочки (горит или не горит). В результате получаем такую задачу.

Задача 2

В квартире 10 лампочек. Сколько существует различных способов освещения квартиры? Два способа освещения считаются различными, если они отличаются состоянием хотя бы одной лампочки. Каждая лампочка может гореть и не гореть. Случай, когда все лампочки не горят,— это тоже способ освещения.

Хотя эта задача более реальная и явление, в ней описанное, более наглядное, но и ее решение не очевидно. Чтобы легче подсчитать все различные способы освещения квартиры (или число коробок), изобразим каждую лампочку (каждое отделение) в виде квадрата, а ее состояние будем отмечать знаком "+", если лампочка горит (значок имеется), и знаком "-" в противном случае. Тогда каждому способу освещения квартиры (каждой коробке) будет соответствовать строка из десяти квадратиков со знаком "+" или "-". Число же таких строк в таблице и есть искомое число различных способов освещения квартиры (число коробок). Получаем такую задачу.

Задача 3

Имеется прямоугольная таблица, содержащая 10 столбцов. В каждой клеточке этой таблицы поставлен знак "+" или "-". Любые две строки таблицы отличаются знаком в клеточках, стоящих хотя бы в одном и том же столбце. Какое наибольшее число строк имеет эта таблица?

Если решение и этой задачи вам не очевидно, то можно построить еще более прозрачную задачу следующим образом. Будем рассматривать каждую строку таблицы, о которой идет речь в предыдущей задаче, как десятизначное число, составленное из цифр 1 и 0 (цифра 1 соответствует знаку "+" в клеточке, а цифра 0 — знаку "-"). Тогда задача 3 переформулируется в такую.

Задача 4

Сколько различных десятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1? При этом числа, в записи которых стоят слева одни нули (например, 0100001101, или 000000001, или даже 00000000001), также рассматриваются.

Решение этой последней задачи уже очевидно. На каждом месте в записи десятизначного числа могут стоять лишь цифры 1 или 0. Поэтому имеется всего лишь две комбинации цифр на каждом месте. Эти комбинации независимы друг от друга, ибо проставление цифры на данном месте в записи числа не зависит от того, какие цифры стоят на других местах. Поэтому общее число комбинаций или возможных десятизначных различных чисел равно 210=1024.

Итак, общее число коробок из задачи 1, число способов освещения квартиры из задачи 2, число строк в таблице из задачи 3 и число десятизначных чисел из задачи 4 равно 1024.

Задачи 2-4 были получены из задачи 1 с помощью ее переформулирования. Чем же они являются для нее? Оказывается, что все они являются ее моделями, следовательно, переформулирование задачи 1 явилось способом ее моделирования, построения ее моделей.

Покажем еще на одном примере применение моделирования при решении задач.

3адача 5 (задача Ньютона)

Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней?

Решение. Эта задача практическая, текстовая. Для того чтобы ее решить, надо составить уравнение или систему уравнений, которые представляют собой модель данной задачи.

Заданные в задаче величины — количество коров и числом дней — не связаны непосредственно, поэтому введем следующие вспомогательные неизвестные — параметры для установления связи между основными величинами. Пусть на лугу первоначально было "а" единиц травы, и ежедневно на нем, вырастает "b" единиц травы. Пусть каждая корова за 1 день съедает "c" единиц травы. Тогда в соответствии с условием получаем.

За 24 дня всего вырастет (а+24b) единиц травы, которую за это время съедают 70 коров. Они съедают 24*70с=1680с, следовательно

                    a+24b=1680с.          (1) 

По условию, что 30 коров съедают всю траву за 60 дней, получаем:

                    а+60b=1800с.          (2) 

За 96 дней на лугу вырастет всего а+96b единиц травы, которую съедят искомое х число коров, они съедят всего 96х*с единиц травы, следовательно, получим такое уравнение:

                    a+96b=96х*с.          (3) 

Уравнения (1), (2) и (3) образуют систему, которая и есть модель исходной задачи. Эту систему нам нужно решить относительно искомого х. Вычтем почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим:

                    36b=120с. 

Отсюда

                    с=0,3b.                     (4) 

Подставим полученное значение с в уравнение (1):

                    а+24b=504b,      

отсюда

                    а=480b.                     (5) 

Подставим выражения "с" и "а" из (4) и (5) в (3), получим:

                    480b+96b=28,8х*b 

                или 576b=28,8х*b, 

отсюда, сократив предварительно на "b", найдем: х=20. Ответ: 20 коров.